1. Pengenalan
Filsafat matematika memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika serta memahamkan kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Tujuan utama bab ini adalah menjelaskan danmengupas secara rinci pandangan epistemologis matematika. Adalah benar bahwa kebenaran matematika mutlak, bahwa matematika adalah salah satu pengetahuan alam yang tidak perlu dipertanyakan dan bersifatobyektif. Hal ini berlawanan dengan pandangan fallibilis yang menentang bahwa kebenaran matematika adalah sesuatu yang dapat diperbaiki dalam arti dapat direvisi dan dikoreksi.
Banyak yang membuat absolutis-fallibilis berbeda. Sepertiditunjukkan kemudian, dari dua pandangan filosofis tersebut, faktorepistemologis adalah hal yang paling penting yang mendasari pengajaranmatematika.
2. Filsafat Matematika
Filsafat matematika adalah cabang filsafat yang merenungkan dan menjelaskan sifat matematika. Ini adalah makna dari epistemologi yaitu menjelaskan pengetahuan manusia pada umumnya. Filsafat matematika membahas pertanyaan seperti: apa yang menjadi dasar pengetahuan matematika? Bagaiman sifat kebenaran matematika? Apa karakteristikkebenaran matematika? Apakah pembenaran untuk pernyataan-pernyataan yang ada? Mengapa kebenaran matematika adalah suatukebenaran yang penting?
Pendekatan epistemologinya adalah dengan mengasumsikan bahwa pengetahuan dibidang apapun, diwakili oleh satu set proposisi bersama dengan satu prosedur untuk memverifikasinya atau memberikanpembenaran atas pernyataan-pernyataannya. Atas dasar ini, pengetahuanmatematika terdiri dari proposisi beserta pembuktiannya. Karenapembuktian matematika didasarkan pada alasan itu saja, tanpa bantuandata empiris, pengetahuan matematika dipahami sebagai pengetahuan yang paling pasti dari semua pengetahuan. Secara tradisional, filsafatmatematika merupakan penyedia dasar kepastian pengetahuanmatematika. Artinya, menyediakan sistem dimana pengetahuan matematika secara sistemik dapat membangun kebenarannya sendiri. Hal ini tergantung pada asumsi secara luas, implisit atau eksplisit.
Asumsi.
Peranan filsafat matematika adalah memberikan landasan yang sistematis dan mutlak untuk pengetahuan matematika yaitu kebenaranmatematika. Kebenaran matematika merupakan Asumsi yang mendasaripondasi doktrin fungsi filsafat matematika. Pondasi tersebut terikat padapandangan absolutis matematika. Dalam hal ini, pembenaran menjadipandangan utama filsafat matematika.
Pendekatan epistemologinya adalah dengan mengasumsikan bahwa pengetahuan dibidang apapun, diwakili oleh satu set proposisi bersama dengan satu prosedur untuk memverifikasinya atau memberikanpembenaran atas pernyataan-pernyataannya. Atas dasar ini, pengetahuanmatematika terdiri dari proposisi beserta pembuktiannya. Karenapembuktian matematika didasarkan pada alasan itu saja, tanpa bantuandata empiris, pengetahuan matematika dipahami sebagai pengetahuan yang paling pasti dari semua pengetahuan. Secara tradisional, filsafatmatematika merupakan penyedia dasar kepastian pengetahuanmatematika. Artinya, menyediakan sistem dimana pengetahuan matematika secara sistemik dapat membangun kebenarannya sendiri. Hal ini tergantung pada asumsi secara luas, implisit atau eksplisit.
Asumsi.
Peranan filsafat matematika adalah memberikan landasan yang sistematis dan mutlak untuk pengetahuan matematika yaitu kebenaranmatematika. Kebenaran matematika merupakan Asumsi yang mendasaripondasi doktrin fungsi filsafat matematika. Pondasi tersebut terikat padapandangan absolutis matematika. Dalam hal ini, pembenaran menjadipandangan utama filsafat matematika.
3. Sifat Pengetahuan Matematika
Secara tradisional, matematika telah dilihat sebagai paradigmapengetahuan tertentu. Euclid membangun struktur logis yang megah hampir 2.500 tahun yang lalu dalam ‘Elemen’, yang sampai akhir abad kesembilan belas diambil sebagai paradigma untuk menetapkan kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan bentuk Elemen dalam prisipia, dan Spinoza dalam etika, untuk memperkuat klaim mereka menjelaskan kebenaran secara sistemik. Dengan demikian matematika telah lama dianggap sebagai sumber pengetahuan paling pasti bagi manusia.
Pengetahuan adalah keyakinan yang dibenarkan. Lebih tepatnya, bahwa pengetahuan proposisional terdiri dari proposisi-proposisi yangdapat diterima filsafat (percaya), asalkan ada dasar pengetahuan yang dapat menegaskannya (sheffler, 1965; Chisholm, 1966; woozley, 1949).Pengetahuan diklasifikasikan menurut dasar alasan untuk pernyataannya.Pengetahuan apriori terdiri dari proporsi yang menegaskan atas dasar alasan itu saja, tanpa bersumber dari pengamatan di dunia. Alasan itu konsisten untuk penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya ditemui dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan aposteriori terdiri dari pernyataan yang menegaskan dasar pengalaman berdasarkanpengamatan di dunia. (Woozley, 1949). Dalam hubungannya dengan serangkaian asumsi aksioma-aksioma matematika atau postulat, sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Jadi fondasi pengetahuan matematika yaitu alasan untuk menegaskan kebenaranpernyataan matematika, terdiri dari bukti deduktif.
Bukti dari pernyataan matematika adalah urutan terbatas yang memenuhi properti berikut. Setiap pernyataan adalah aksioma yang diambil dari aksioma sebelumnya atau diperoleh dengan aturan inferensi dari satu atau lebih pernyataan sebelumnya dalam urutan. 'Set aksioma' istilah yang telah dipahami secara luas, memasukkan semua pernyataanyang mengarah kepada bukti tanpa demonstrasi, termasuk aksioma, postulat dan definisi.
Pengetahuan adalah keyakinan yang dibenarkan. Lebih tepatnya, bahwa pengetahuan proposisional terdiri dari proposisi-proposisi yangdapat diterima filsafat (percaya), asalkan ada dasar pengetahuan yang dapat menegaskannya (sheffler, 1965; Chisholm, 1966; woozley, 1949).Pengetahuan diklasifikasikan menurut dasar alasan untuk pernyataannya.Pengetahuan apriori terdiri dari proporsi yang menegaskan atas dasar alasan itu saja, tanpa bersumber dari pengamatan di dunia. Alasan itu konsisten untuk penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya ditemui dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan aposteriori terdiri dari pernyataan yang menegaskan dasar pengalaman berdasarkanpengamatan di dunia. (Woozley, 1949). Dalam hubungannya dengan serangkaian asumsi aksioma-aksioma matematika atau postulat, sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Jadi fondasi pengetahuan matematika yaitu alasan untuk menegaskan kebenaranpernyataan matematika, terdiri dari bukti deduktif.
Bukti dari pernyataan matematika adalah urutan terbatas yang memenuhi properti berikut. Setiap pernyataan adalah aksioma yang diambil dari aksioma sebelumnya atau diperoleh dengan aturan inferensi dari satu atau lebih pernyataan sebelumnya dalam urutan. 'Set aksioma' istilah yang telah dipahami secara luas, memasukkan semua pernyataanyang mengarah kepada bukti tanpa demonstrasi, termasuk aksioma, postulat dan definisi.
4. Pandangan Absolutis Pengetahuan Matematika
Menurut pandangan ini, pengetahuan matematika terdiri dari kebenaran mutlak. Banyak filosof, baik
modern dan tradisional, memiliki pandangan absolut tentang pengetahuan matematika. Menurut Hempel:
“Keabsahan matematika berasal dari syarat yang menentukan makna dari konsep-konsep matematika, bahwa pernyataan matematika pada dasarnya benar secara definisi”.
Pendukung lain kepastian matematika berasal dari Jayer, seperti berikut,
“Apabila suatu generalisasi ilmiah mudah menjadi keliru, kebenaran logika tampaknya pasti akan diperlukan. Kebenaran-kebenaran matematika adalah pernyataan analitik atau tautologies”. Kepastian suatupernyataan apriori tergantung pada kenyataan bahwa pernyataan tersebut termasuk tautologi. Pernyataan analitik benar jika hanya dalam kebajikan tentang kekonsistenan, dan karenanya tidak dapat dikonfirmasi atau disangkal oleh fakta pengalaman (Ayer, 1946, masing-masing halaman 72, 77 dan 16).
A. Logika
Logika lebih dulu dianggap sebagai bagian dari logika ilmu pasti matematika. Pendukung utama dari pandangan ini adalah G.Leibniz, G.frege (1893), B.Russel (1919), A.N whitehead dan R. Carnap (1931). Di tangan Bertrand Russel klaim logika menerima formulasi yang paling jelas dan eksplisit. Ada dua klaim:
1. Semua konsep matematika pada akhirnya dapat direduksi menjadi konsep logis, asalkan untuk memasukkan konsep set atau sistem kekuasaan yang mirip, seperti Teori Russel.2. Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan inferensi logika.
Jika semua matematika dapat dinyatakan dalam istilah murni logis dan terbukti dari prinsip-prinsip logis saja, kepastian pengetahuan matematika dapat tereduksi menjadi logika tersebut. Logika dianggap memberikan landasan tertentu untuk kebenaran, selain terlalu ambisius, upaya untuk memperpanjang logika seperti hukum Kelima Frege. Melalui program logistis akan memberikan dasar logis untuk pengetahuan matematika, mendirikan kembali kepastian yang mutlak dalam matematika.
Whitehead dan Russel (1910-1913) mampu membangun klaimpertama dari klaim dua melalui rantai definisi. Namun logis kandas pada klaim kedua. Kenyataanya matematika membutuhkan aksioma non-logis seperti aksioma tak terhingga (himpunan semua bilangan asli adalah tidak terbatas) dan aksioma pilihan (produk Cartesian dari himpunan tidak kosong).
Tapi meskipun semua pernyataan logis dapat dinyatakan dalam bentuk konstanta logis bersama-sama dengan variabel, sebaliknya, semua pernyataan dapat menyatakan cara ini adalah logis. Aksioma ketidakterbatasan sebagai contoh dari proposisi yang meskipun dapat diucapkan dalam hal logis tetapi tidak dapat menegaskan dengan logisuntuk menjadi kenyataan (Russel, 1919, halaman 202-3, penekanan asli).
Teorema Matematika tergantung pada Sebuah set asumsi matematika tereduksi. Memang, sejumlah aksioma teorema matematika tergantung pada kumpulan asumsi dan negasi tanpa inkonsistensi (Cohen, 1966), sehingga klaim kedua yang logistisdisangkal.
B. Formalisme
Dalam istilah populer, formalisme adalah suatu pendapat bahwa matematika tanpa arti yang formal. Jejak filosofi formalis matematikadapat ditemukan dalam tulisan-tulisan Uskup Berkeley, tapi para pendukung utama dari formalisme adalah David Hilbert (1925), awalJ. von Neumann (1931) dan H.Curry (1951). Program formalis Hilbertbertujuan untuk menerjemahkan matematika ke dalam sistem formal. Artinya, dalam lingkup terbatas tetapi sangat mengarah pada sistem formal yang menunjukkan sifat matematika, dengan menurunkanmitra resmi dari semua kebenaran matematika melalui buktikonsistensi.
Tesis formalis terdiri dari dua klaim:
1. Matematika murni dapat dinyatakan sebagai sistem formal yangditafsirkan dengan kebenaran matematika, diwakili oleh teoremaformal.
2. Keamanan dari sistem formal dapat ditunjukkan dalam hal kebebasan mereka dari inkonsistensi, melalui meta-matematika.
Ketidak lengkapan Teorema Kurt Godel (Godel, 1931)menunjukkan syarat yang tidak bisa dipenuhi. Teorema pertamanyamenunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran dari aritmatikadapat diturunkan dari aksioma Peano (atau setiap aksioma set yang rekursif lebih besar). Teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkanbahwa dalam kasus konsistensi pembuktian memerlukan meta-matematika. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi dari aritmatikaPeano mengharuskan semua aksioma dari sistem itu dan asumsi lebih lanjut, seperti prinsip induksi transfinit seperti bilangan ofer kountbale (Genten, 1936). Mungkin Formalis dapat memberikan dukungan bagipandangan absolutis sistem matematika, memberikan tantangan bagi kebenaran matematika. Namun, Tidak semua kebenaran matematikadapat direpresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, danlebih jauh lagi, sistem itu sendiri tidak dapat dijamin kebenarannya.
C. Konstruktivisme
Kontrutivisme dalam filsafat matematika dapat ditelusuri dari tokoh Kant dan Kronecker (Korner, 1960). Menurut paham konstruktivisme, pengetahuan diperoleh melalui proses aktif individu mengkonstruksi arti dari suatu teks, pengalaman fisik, dialog, dan lain-lain melalui asimilasi pengalaman baru dengan pengertian yang telah dimiliki seseorang. Tujuan pendidikannya menghasilkan individu yang memiliki kemampuan berpikir untuk menyelesaikan persoalan hidupnya. Program konstruktivisme adalah salah satu yangmerekonstruksi pengetahuan matematika (dan mereformasi praktekmatematika) untuk menjaganya dari kehilangan makna, dan darikontradiksi. Untuk tujuan ini, konstruktivis menolak argumen non-konstruktif seperti pembuktian Cantor bahwa bilangan real adalah uncountable dan hukum logis.
Para konstruktivis yang paling terkenal adalah intuisionis L. E.Brouwer (1913) dan Heyting (1931,19560). Baru-baru ini matematikawan E. Bishop (1967) telah melakukan program konstruktivisme dengan merekonstruksi sebagian analisis substansial, dengan cara konstruktif. konstruktivisme mencakup berbagai macam pandangan yang berbeda, ultra-intiusionis dari A.Yessenin (yang ketat menurut intiusionis filosofis L.E Brouwer), intuitionis tengah (A.Heyting dan H.Weyl), intuitionis logika modern (A. Troelstra)pada jangkauan konstruktivis kurang lebih liberal termasuk P.Lorezondan Martin. Berbagai pandangan, misalnya pandangan bahwa matematika klasik mungkin tidak cukup kuat dan perlu dibangun kembali melalui metode konstruvisme dan penalaran. Konstruvisme mengklaim bahwa kebenaran matematika dan keberadaan objek matematika harus ditetapkan melalui metode konstruktif. Ini berarti bahwa konstruksi matematika dibutuhkan untuk mendirikan kebenaran atau keberadaan, dibandingkan dengan metode mengandalkan bukti oleh kontradiksi. Untuk konstruktivis pengetahuan, harus dibangun melalui bukti-bukti yang konstruktif, berdasarkan logika konstruktivis terbatas, dan sesuai dengan dengan prosedur konstruktif. Meskipun beberapa Konstruktivis menyatakan bahwa matematika adalah studi proses konstruktif yang dilakukanmenggunakan pensil dan kertas, oleh pandangan ketat intuisionis, oleh Brouwer, matematika memiliki tempat utama. Salah satu konsekuensi,Brower menganggap semua axiomasisasi besifat logika intuisisehingga dianggap tidak pernah memiliki bentuk akhir.
Intuisionis merupakan konstruktif filosofi paling lengkap dalam matematika. Dua klaim dipisahkan dari intuisionis yaitu tesis positif dan negatif Dumment.
Yang positif menyatakan bahwa cara menafsirkan pengertian dari intuisionis matematika dan operasi logis adalah satu koheren dan sah, bahwa matematika intuistik dipahami dari teori. Tesis negatif menyatakan bahwa gagasan matematis dan operasi logis adalah tidak koheren dan tidak sah (Dumment 1977). Tesis negatif intuisionis ditolak.
Masalah lain untuk tampilan kontruktivisme adalah beberapa halyang tidak konsisten dengan matematika klasikal. Misalnya, rangkaian bilangan real seperti yang didefinisikan oleh intuisionisadalah dapat dihitung. Ini bertentangan dengan faham klasik bukan karena ada kontradiksi yang melekat, tetapi karena definisi bilangan real berbeda. Gagasan konstruktivisme sering memiliki arti yang berbeda dari pengertian klasik yang sesuai.
“Keabsahan matematika berasal dari syarat yang menentukan makna dari konsep-konsep matematika, bahwa pernyataan matematika pada dasarnya benar secara definisi”.
Pendukung lain kepastian matematika berasal dari Jayer, seperti berikut,
“Apabila suatu generalisasi ilmiah mudah menjadi keliru, kebenaran logika tampaknya pasti akan diperlukan. Kebenaran-kebenaran matematika adalah pernyataan analitik atau tautologies”. Kepastian suatupernyataan apriori tergantung pada kenyataan bahwa pernyataan tersebut termasuk tautologi. Pernyataan analitik benar jika hanya dalam kebajikan tentang kekonsistenan, dan karenanya tidak dapat dikonfirmasi atau disangkal oleh fakta pengalaman (Ayer, 1946, masing-masing halaman 72, 77 dan 16).
A. Logika
Logika lebih dulu dianggap sebagai bagian dari logika ilmu pasti matematika. Pendukung utama dari pandangan ini adalah G.Leibniz, G.frege (1893), B.Russel (1919), A.N whitehead dan R. Carnap (1931). Di tangan Bertrand Russel klaim logika menerima formulasi yang paling jelas dan eksplisit. Ada dua klaim:
1. Semua konsep matematika pada akhirnya dapat direduksi menjadi konsep logis, asalkan untuk memasukkan konsep set atau sistem kekuasaan yang mirip, seperti Teori Russel.2. Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan inferensi logika.
Jika semua matematika dapat dinyatakan dalam istilah murni logis dan terbukti dari prinsip-prinsip logis saja, kepastian pengetahuan matematika dapat tereduksi menjadi logika tersebut. Logika dianggap memberikan landasan tertentu untuk kebenaran, selain terlalu ambisius, upaya untuk memperpanjang logika seperti hukum Kelima Frege. Melalui program logistis akan memberikan dasar logis untuk pengetahuan matematika, mendirikan kembali kepastian yang mutlak dalam matematika.
Whitehead dan Russel (1910-1913) mampu membangun klaimpertama dari klaim dua melalui rantai definisi. Namun logis kandas pada klaim kedua. Kenyataanya matematika membutuhkan aksioma non-logis seperti aksioma tak terhingga (himpunan semua bilangan asli adalah tidak terbatas) dan aksioma pilihan (produk Cartesian dari himpunan tidak kosong).
Tapi meskipun semua pernyataan logis dapat dinyatakan dalam bentuk konstanta logis bersama-sama dengan variabel, sebaliknya, semua pernyataan dapat menyatakan cara ini adalah logis. Aksioma ketidakterbatasan sebagai contoh dari proposisi yang meskipun dapat diucapkan dalam hal logis tetapi tidak dapat menegaskan dengan logisuntuk menjadi kenyataan (Russel, 1919, halaman 202-3, penekanan asli).
Teorema Matematika tergantung pada Sebuah set asumsi matematika tereduksi. Memang, sejumlah aksioma teorema matematika tergantung pada kumpulan asumsi dan negasi tanpa inkonsistensi (Cohen, 1966), sehingga klaim kedua yang logistisdisangkal.
B. Formalisme
Dalam istilah populer, formalisme adalah suatu pendapat bahwa matematika tanpa arti yang formal. Jejak filosofi formalis matematikadapat ditemukan dalam tulisan-tulisan Uskup Berkeley, tapi para pendukung utama dari formalisme adalah David Hilbert (1925), awalJ. von Neumann (1931) dan H.Curry (1951). Program formalis Hilbertbertujuan untuk menerjemahkan matematika ke dalam sistem formal. Artinya, dalam lingkup terbatas tetapi sangat mengarah pada sistem formal yang menunjukkan sifat matematika, dengan menurunkanmitra resmi dari semua kebenaran matematika melalui buktikonsistensi.
Tesis formalis terdiri dari dua klaim:
1. Matematika murni dapat dinyatakan sebagai sistem formal yangditafsirkan dengan kebenaran matematika, diwakili oleh teoremaformal.
2. Keamanan dari sistem formal dapat ditunjukkan dalam hal kebebasan mereka dari inkonsistensi, melalui meta-matematika.
Ketidak lengkapan Teorema Kurt Godel (Godel, 1931)menunjukkan syarat yang tidak bisa dipenuhi. Teorema pertamanyamenunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran dari aritmatikadapat diturunkan dari aksioma Peano (atau setiap aksioma set yang rekursif lebih besar). Teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkanbahwa dalam kasus konsistensi pembuktian memerlukan meta-matematika. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi dari aritmatikaPeano mengharuskan semua aksioma dari sistem itu dan asumsi lebih lanjut, seperti prinsip induksi transfinit seperti bilangan ofer kountbale (Genten, 1936). Mungkin Formalis dapat memberikan dukungan bagipandangan absolutis sistem matematika, memberikan tantangan bagi kebenaran matematika. Namun, Tidak semua kebenaran matematikadapat direpresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, danlebih jauh lagi, sistem itu sendiri tidak dapat dijamin kebenarannya.
C. Konstruktivisme
Kontrutivisme dalam filsafat matematika dapat ditelusuri dari tokoh Kant dan Kronecker (Korner, 1960). Menurut paham konstruktivisme, pengetahuan diperoleh melalui proses aktif individu mengkonstruksi arti dari suatu teks, pengalaman fisik, dialog, dan lain-lain melalui asimilasi pengalaman baru dengan pengertian yang telah dimiliki seseorang. Tujuan pendidikannya menghasilkan individu yang memiliki kemampuan berpikir untuk menyelesaikan persoalan hidupnya. Program konstruktivisme adalah salah satu yangmerekonstruksi pengetahuan matematika (dan mereformasi praktekmatematika) untuk menjaganya dari kehilangan makna, dan darikontradiksi. Untuk tujuan ini, konstruktivis menolak argumen non-konstruktif seperti pembuktian Cantor bahwa bilangan real adalah uncountable dan hukum logis.
Para konstruktivis yang paling terkenal adalah intuisionis L. E.Brouwer (1913) dan Heyting (1931,19560). Baru-baru ini matematikawan E. Bishop (1967) telah melakukan program konstruktivisme dengan merekonstruksi sebagian analisis substansial, dengan cara konstruktif. konstruktivisme mencakup berbagai macam pandangan yang berbeda, ultra-intiusionis dari A.Yessenin (yang ketat menurut intiusionis filosofis L.E Brouwer), intuitionis tengah (A.Heyting dan H.Weyl), intuitionis logika modern (A. Troelstra)pada jangkauan konstruktivis kurang lebih liberal termasuk P.Lorezondan Martin. Berbagai pandangan, misalnya pandangan bahwa matematika klasik mungkin tidak cukup kuat dan perlu dibangun kembali melalui metode konstruvisme dan penalaran. Konstruvisme mengklaim bahwa kebenaran matematika dan keberadaan objek matematika harus ditetapkan melalui metode konstruktif. Ini berarti bahwa konstruksi matematika dibutuhkan untuk mendirikan kebenaran atau keberadaan, dibandingkan dengan metode mengandalkan bukti oleh kontradiksi. Untuk konstruktivis pengetahuan, harus dibangun melalui bukti-bukti yang konstruktif, berdasarkan logika konstruktivis terbatas, dan sesuai dengan dengan prosedur konstruktif. Meskipun beberapa Konstruktivis menyatakan bahwa matematika adalah studi proses konstruktif yang dilakukanmenggunakan pensil dan kertas, oleh pandangan ketat intuisionis, oleh Brouwer, matematika memiliki tempat utama. Salah satu konsekuensi,Brower menganggap semua axiomasisasi besifat logika intuisisehingga dianggap tidak pernah memiliki bentuk akhir.
Intuisionis merupakan konstruktif filosofi paling lengkap dalam matematika. Dua klaim dipisahkan dari intuisionis yaitu tesis positif dan negatif Dumment.
Yang positif menyatakan bahwa cara menafsirkan pengertian dari intuisionis matematika dan operasi logis adalah satu koheren dan sah, bahwa matematika intuistik dipahami dari teori. Tesis negatif menyatakan bahwa gagasan matematis dan operasi logis adalah tidak koheren dan tidak sah (Dumment 1977). Tesis negatif intuisionis ditolak.
Masalah lain untuk tampilan kontruktivisme adalah beberapa halyang tidak konsisten dengan matematika klasikal. Misalnya, rangkaian bilangan real seperti yang didefinisikan oleh intuisionisadalah dapat dihitung. Ini bertentangan dengan faham klasik bukan karena ada kontradiksi yang melekat, tetapi karena definisi bilangan real berbeda. Gagasan konstruktivisme sering memiliki arti yang berbeda dari pengertian klasik yang sesuai.
5. Kekeliruan pada Paham Absolut (kemutlakan)
Telah kita lihat bahwa sejumlah filosofi absolut (kemutlakan) matematika telah gagal membuat keperluan pada pengetahuan matematika yang logis. ke tiga sekolah yaitu pemikiran logicism, formalism dan intuitionism ( mengabarkan bentuk constructivismdengan sangat jelas) mencoba menyediakan suatu bentuk pondasi untukkebenaran matematika, menurunkannya dengan pembuktian matematikadari sesuatu yang terbatas tetapi bidang yang pasti pada kebenaran. pada setiap kasus, ada peletakan pada suatu dasar pengamanan akan menjadikebenaran yang mutlak. Untuk logist, formalists dan intuitionists ,terdiri dari axioma yang logis, prinsip- prinsip pasti secara tidak sengaja pada meta-matematika, dan axioma self-evident pada ‘intuisi purba’ secaraberturut-turut. berbagai aksioma ini atau prinsip- prinsip diasumsikan tanpa demonstrasi. Oleh karena itu sisanya membuka tantangan, dan juga keraguan. sesudah itu masing-masing sekolah mempekerjakan dedukatif yang logis untuk mempertunjukkan kebenaran dalil matematika dariasumsi dasar mereka. Sebagai konsekwensi, ketiga sekolah ini yang pemikirannya gagal menetapkan kemutlakan kebenaran matematika secara pasti. Untuk dedukatif yang logis hanya menyebarkan kebenaran, tidak menyuntiknya, dan kesimpulan pada bukti yang logis adalah yang terbaik adalah seperti pendapat yang paling lemah.
Dapat dikatakan bahwa ketiga sekolah ini gagal menyediakan pondasi untuk jajaran penuh pada yang akan menjadi kebenaran mathematika dalam pengertian ini. untuk ketidaklengkapan Dalil Godel yang pertama menunjukkan, Bukti tidaklah cukup untuk menunjukkan semua kebenaran. Dengan begitu, ada kebenaran pada matematika yang tidak yang dimiliki oleh sistem sekolah ini.
Kebenaran yang mutlak dalam matematika masih menyisakan suatu matematika juga mempunyai suatu dampak yang sangat kuat pada cara matematika yang diajarkan ( Davis, 1967; Cooney, 1988; Ernest, 1988b, 1988c). Satu studi yang berpengaruh, menyimpulkan bahwa:
Konsistensi yang diamati antara gambaran guru matematika dan cara mereka memperkenalkan secara khas isi menyarankan bahwa pandangan para guru, kepercayaan tentang matematika yang mempengaruhi praktekpengajaran mereka.
Thompos ( 1984, halaman 125)
Isu yang lain, pusat filosofi pendidikan matematika, dan mempunya praktek yangpenting untuk pengajaran dan pelajaran matematika.
Bagian pertama dari buku yang membicarakan tentang filosofi matematika. berisi suatu suatu pendekatan kritik yang ada, dan suatu filosofi baru pada matematika. Karena walaupun paradigma tradisionalberada di bawah serangan, novel dan perjanjian ide-ide di Zeilgeist belum disatukan. Konstruksi sosial ditawarkan untuk mengisi ruang.
Bagian kedua menyelidiki filosofi pendidikan matematika. menunjukkan bahwa banyak aspek pendidikan matematika bersandarkan pada asumsi filosofis. Dengan menemukan beberapa di antara mereka, tujuannya adalah untuk meletakkan suatu alat kritik pada para guru dan peneliti.
Catatan:
1. Suatu kerancuan sistematis harus diberi isyarat. Filosofi matematika adalah keseluruhan bidang filosofis memeriksa sifat alami matematika. sebaliknya, filosofi matematika adalah catatan atau pandangan tertentu pada sifat alami matematika. Secara umum, pengertian ini diberi tanda dengan penggunaan yang tertentu ataubenda yang tidak tentu (bentuk jamak) berturut-turut.
2. Seharusnya disebutkan bahwa sikap negatif matematika telah dihubungkan dengan pandangan ( B) pada para siswa SMP.
Dapat dikatakan bahwa ketiga sekolah ini gagal menyediakan pondasi untuk jajaran penuh pada yang akan menjadi kebenaran mathematika dalam pengertian ini. untuk ketidaklengkapan Dalil Godel yang pertama menunjukkan, Bukti tidaklah cukup untuk menunjukkan semua kebenaran. Dengan begitu, ada kebenaran pada matematika yang tidak yang dimiliki oleh sistem sekolah ini.
Kebenaran yang mutlak dalam matematika masih menyisakan suatu matematika juga mempunyai suatu dampak yang sangat kuat pada cara matematika yang diajarkan ( Davis, 1967; Cooney, 1988; Ernest, 1988b, 1988c). Satu studi yang berpengaruh, menyimpulkan bahwa:
Konsistensi yang diamati antara gambaran guru matematika dan cara mereka memperkenalkan secara khas isi menyarankan bahwa pandangan para guru, kepercayaan tentang matematika yang mempengaruhi praktekpengajaran mereka.
Thompos ( 1984, halaman 125)
Isu yang lain, pusat filosofi pendidikan matematika, dan mempunya praktek yangpenting untuk pengajaran dan pelajaran matematika.
Bagian pertama dari buku yang membicarakan tentang filosofi matematika. berisi suatu suatu pendekatan kritik yang ada, dan suatu filosofi baru pada matematika. Karena walaupun paradigma tradisionalberada di bawah serangan, novel dan perjanjian ide-ide di Zeilgeist belum disatukan. Konstruksi sosial ditawarkan untuk mengisi ruang.
Bagian kedua menyelidiki filosofi pendidikan matematika. menunjukkan bahwa banyak aspek pendidikan matematika bersandarkan pada asumsi filosofis. Dengan menemukan beberapa di antara mereka, tujuannya adalah untuk meletakkan suatu alat kritik pada para guru dan peneliti.
Catatan:
1. Suatu kerancuan sistematis harus diberi isyarat. Filosofi matematika adalah keseluruhan bidang filosofis memeriksa sifat alami matematika. sebaliknya, filosofi matematika adalah catatan atau pandangan tertentu pada sifat alami matematika. Secara umum, pengertian ini diberi tanda dengan penggunaan yang tertentu ataubenda yang tidak tentu (bentuk jamak) berturut-turut.
2. Seharusnya disebutkan bahwa sikap negatif matematika telah dihubungkan dengan pandangan ( B) pada para siswa SMP.
6. Kritik Fallibilist Kemutlakan ( Absolute)
Perhatian yang pertama berdasarkan logika pada pembuktian matematika. Penetapan kebenaran matematika, bahwa pengurangan dalil untuk satu set aksioma, memerlukan asumsi ,yaitu aksioma dan peraturan yang berpengaruh pada logika itu sendiri. Ini tidak sepele,asumsi non-eliminable, argumen diatas (sifat tak dapat dijabar padaasumsi lingkaran yang tak berujung pangkalnya) diterapkan pada logika. dengan begitu kebenaran matematika tergantung pada logika seperti halnya asumsi matematika.Masing-Masing asumsi yang berikut adalah suatu kondisi perlu untuk kepastian didalam matematika. Masing-Masing, yang diperdebatkan, adalah suatu asumsi penganut kemutlakan tak beralasan.
Asumsi A
Pembuktian bahwa para ahli matematik menerbitkan keabsahan untuk menyatakan dalil dapat, pada prinsipnya, diterjemahkan ke dalam bukti formal yang kaku.
Asumsi B
Bukti formal kaku dapat dicek untuk ketepatannya.
Asumsi C
Teori matematika dapat diterjemahkan ke dalam aksioma formal secara sah.
Asumsi D
Konsistensi dari penyajian ini ( Asumsi C) dapat dicek.
Asumsi A
Pembuktian bahwa para ahli matematik menerbitkan keabsahan untuk menyatakan dalil dapat, pada prinsipnya, diterjemahkan ke dalam bukti formal yang kaku.
Asumsi B
Bukti formal kaku dapat dicek untuk ketepatannya.
Asumsi C
Teori matematika dapat diterjemahkan ke dalam aksioma formal secara sah.
Asumsi D
Konsistensi dari penyajian ini ( Asumsi C) dapat dicek.
7. Pandangan Fallibilist
Pandangan Penganut kemutlakan pengetahuan matematica telah menjadi pokok pada kesungguhan dan menurutku, kritik tidak dapat dibantah. Penolakannya membawanya ke arah yang berlawanan denganpandangan fallibis pengetahuan mathematica. Pandangan ini bahwa kebenaran matematika adalah dapat dibenarkan dan dapat berbuat keliru, dan tidak pernah dapat dihormati sebagai revisi dan pembenaran. Format yang negatif berhubungan dengan penolakan paham absolut:pengetahuan mathematical bukanlah kebenaran absolut, dan tidak mempunyai kebenaran absolut. Bentuk positifnya adalah bahwa pengetahuan matematika adalah dapat dibenarkan dan terus menerusmenerima revisi. Di bagian ini saya ingin menunjukkan dukungan untukpandangan fallibilist, di satu bwentuk atau lainnya, ini lebih luas dari yg telah diharapkan. berikut adalah suatu pemilihan dari cakupan ahli logika, para ahli matematika dan ahli filsafat yang mendukung sudut pandang ini.
8. Kesimpulan
Penolakan paham absolut (kemutlakan) seharusnya tidak dilihat sebagai pembuangan matematika dari Taman Firdaus, bidang kepastian dan kebenaran. 'Hilangnya kepastian' ( Kline, 1980) tidak menghadirkan hilangnya pengetahuan.
Ada penjelasan analogi dengan pengembangan dalam ilmu fisika modern. Teori Kenisbian Rampat diperlukan untuk melpaskan kemutlakan, kerangka acuan universal berpihak pada suatu perpective relativistic. Dalam Teori Kuantum, Asas Ketakpastian Heisenberg bahwa barang kelontong ttg pengukuran daya gerak dan posisi ditentukan padapartikel nsur juga harus diberi. Tetapi apa yang kita lihat di sini bukanlah hilangnya pengetahuan ttg kepastian dan rangka absolut. Lebih baik kita lihat pertumbuhan pengetahuan, membawanya pada suatu perwujudan batas dari apa yang dapat dikenal. Relatifitas Dan Ketidak-Pastian dalam ilmu fisika menghadirkan kemajuan utama dalam pengetahuan, membantu mengambil batas pengetahuan ( untuk waktu lama teori ini ditahan)
.
Demikian juga dalam matematika, sebagai pengetahuan yang menjadi penemuan yang lebih baik dan kita belajar lebih banyak tentang basis nya, kita menyadari bahwa pandangan penganut kemutlakan (absolutis)adalah suatu pangangan-angan, amyth. Ini menghadirkan suatu kemajuan dalam pengetahuan, tak satu tempat pengasingan pun dari kepastian yang lampau. Taman Firdaus Penganut kemutlakan adalah tak lain hanya suatu surga orang bodoh.
Demikian juga dalam matematika, sebagai pengetahuan yang menjadi penemuan yang lebih baik dan kita belajar lebih banyak tentang basis nya, kita menyadari bahwa pandangan penganut kemutlakan (absolutis)adalah suatu pangangan-angan, amyth. Ini menghadirkan suatu kemajuan dalam pengetahuan, tak satu tempat pengasingan pun dari kepastian yang lampau. Taman Firdaus Penganut kemutlakan adalah tak lain hanya suatu surga orang bodoh.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar